Maths · Brevet
Développer et factoriser une expression
Développer, c'est transformer un produit en une somme en supprimant les parenthèses grâce à la distributivité : k(a + b) = ka + kb. Factoriser, c'est l'opération inverse : transformer une somme en produit en mettant en évidence un facteur commun : ka + kb = k(a + b). Développer et factoriser sont deux opérations réciproques.
Formules
Développer : k(a + b) = ka + kb · Factoriser : ka + kb = k(a + b)
À retenir
- Développer transforme un produit en somme (on enlève les parenthèses) ; factoriser transforme une somme en produit.
- La double distributivité donne : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
- Pour factoriser, on cherche un facteur commun à tous les termes et on le met devant une parenthèse.
- Les trois identités remarquables : (a+b)² = a² + 2ab + b², (a−b)² = a² − 2ab + b², (a+b)(a−b) = a² − b².
- Bien gérer les signes est la première source d'erreurs : un signe moins devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur.
Comment factoriser une expression
- 1
Repérer les termes
Identifier chaque terme de la somme, avec son signe et ses facteurs.
- 2
Chercher le facteur commun
Trouver un nombre ou une expression présent dans tous les termes, par exemple x dans 3x + 5x.
- 3
Mettre en facteur
Écrire le facteur commun devant une parenthèse, en divisant chaque terme par ce facteur : 3x + 5x = x(3 + 5).
- 4
Simplifier si possible
Réduire l'intérieur de la parenthèse ou reconnaître une identité remarquable pour aller plus loin.
Exemple corrigé pas à pas
Développer puis réduire l'expression A = 3(2x + 5) − 2(x − 4).
On développe chaque produit avec la distributivité : 3(2x + 5) = 6x + 15 −2(x − 4) = −2x + 8 Donc A = 6x + 15 − 2x + 8 On réduit en regroupant : A = (6x − 2x) + (15 + 8) = 4x + 23.
Erreurs fréquentes
✗ Oublier de changer les signes après un moins devant une parenthèse : −2(x − 4) = −2x − 8.
✓ Le moins change tous les signes : −2(x − 4) = −2x + 8.
✗ Ne distribuer que sur le premier terme de la parenthèse.
✓ Le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse.
✗ Confondre développer et factoriser.
✓ Développer = produit vers somme ; factoriser = somme vers produit.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Développer transforme un produit en somme en supprimant les parenthèses. Factoriser fait l'inverse : transformer une somme en produit en mettant un facteur commun en évidence.
Quelles sont les identités remarquables du brevet ?
Il y en a trois : (a+b)² = a² + 2ab + b², (a−b)² = a² − 2ab + b², et (a+b)(a−b) = a² − b². Elles servent à développer et à factoriser plus vite.
Le calcul littéral est-il au brevet ?
Oui, développer, factoriser et réduire des expressions littérales sont au programme du cycle 4 et figurent régulièrement au brevet.
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