Maths · Brevet
Théorème de Thalès : énoncé, formule et exercice corrigé
Le théorème de Thalès relie les longueurs de deux triangles emboîtés formés par deux droites parallèles coupant deux droites sécantes. Si (MN) est parallèle à (BC) dans un triangle ABC, alors les côtés sont proportionnels : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Il sert à calculer une longueur manquante quand on connaît les autres.
Formule
AM/AB = AN/AC = MN/BC
À retenir
- Le théorème de Thalès s'applique dès que deux droites parallèles coupent deux droites sécantes en un même point.
- Il donne trois rapports égaux : AM/AB = AN/AC = MN/BC, à écrire toujours dans le même ordre (petit triangle au numérateur).
- On l'utilise pour calculer une longueur inconnue à partir d'un produit en croix.
- La réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
- L'erreur la plus fréquente est d'inverser numérateur et dénominateur ou de mélanger les points de deux triangles différents.
Comment appliquer le théorème de Thalès (méthode en 4 étapes)
- 1
Vérifier la configuration
Repérer le point commun aux deux sécantes (souvent A) et vérifier que les deux droites (MN et BC) sont bien parallèles. Sans parallélisme, le théorème ne s'applique pas.
- 2
Écrire les trois rapports
Placer au numérateur les longueurs du petit triangle (AMN) et au dénominateur celles du grand (ABC), dans le même ordre : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- 3
Repérer la longueur cherchée
Garder les deux rapports où figurent la longueur inconnue et une longueur connue, par exemple AM/AB = MN/BC si on cherche MN.
- 4
Résoudre par produit en croix
Poser l'égalité de deux fractions et faire le produit en croix pour isoler l'inconnue, puis donner le résultat avec son unité.
Exemple corrigé pas à pas
Dans un triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC] avec (MN) parallèle à (BC). On donne AM = 3 cm, AB = 9 cm et BC = 12 cm. Calculer MN.
Les droites (MN) et (BC) étant parallèles, le théorème de Thalès donne : AM/AB = MN/BC On remplace : 3/9 = MN/12 Par produit en croix : MN = (3 × 12) / 9 = 36 / 9 = 4 Donc MN = 4 cm.
Erreurs fréquentes
✗ Appliquer Thalès alors que les droites ne sont pas parallèles.
✓ Toujours vérifier ou justifier le parallélisme avant d'écrire les rapports.
✗ Écrire les rapports dans un ordre incohérent, par exemple AM/AB = AC/AN.
✓ Garder le même sens partout : petit triangle au numérateur, grand au dénominateur.
✗ Confondre le théorème de Thalès (parallèles) et le théorème de Pythagore (triangle rectangle).
✓ Thalès sert aux longueurs proportionnelles ; Pythagore sert aux triangles rectangles.
Questions fréquentes
Quand utiliser Thalès plutôt que Pythagore ?
On utilise le théorème de Thalès quand deux droites parallèles coupent deux sécantes et qu'on cherche une longueur proportionnelle. On utilise Pythagore quand le triangle est rectangle et qu'on cherche un côté à partir des deux autres.
À quoi sert la réciproque du théorème de Thalès ?
La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles : si les rapports AM/AB et AN/AC sont égaux et que les points sont alignés dans le même ordre, alors (MN) est parallèle à (BC).
En quelle classe apprend-on le théorème de Thalès ?
Le théorème de Thalès est au programme de 3e en France et fait partie des notions régulièrement évaluées au brevet des collèges.
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