Maths · Brevet

Fonctions affines : définition, formule et méthode

Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres fixés. Le nombre a est le coefficient directeur (il donne la pente de la droite), et b est l'ordonnée à l'origine (la valeur de la fonction quand x = 0). Sa représentation graphique est toujours une droite.

Formule

f(x) = ax + b

À retenir

  • Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b et sa courbe est toujours une droite.
  • Le coefficient directeur a indique la pente : positif la droite monte, négatif elle descend, nul c'est une droite horizontale.
  • L'ordonnée à l'origine b est la valeur de f(0), c'est-à-dire là où la droite coupe l'axe des ordonnées.
  • Une fonction linéaire est une fonction affine particulière où b = 0, donc f(x) = ax.
  • Pour trouver a et b à partir de deux points, on calcule a avec la différence des ordonnées sur la différence des abscisses, puis on déduit b.

Comment déterminer une fonction affine à partir de deux points

  1. 1

    Repérer les coordonnées des deux points

    Noter les deux points sous la forme (x₁ ; y₁) et (x₂ ; y₂), donnés par l'énoncé ou lus sur un graphique.

  2. 2

    Calculer le coefficient directeur a

    Utiliser la formule a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) : la variation des ordonnées divisée par la variation des abscisses.

  3. 3

    Calculer l'ordonnée à l'origine b

    Remplacer a et les coordonnées d'un des deux points dans f(x) = ax + b, puis isoler b.

  4. 4

    Écrire la fonction complète

    Assembler les valeurs trouvées pour donner l'expression finale f(x) = ax + b.

Exemple corrigé pas à pas

Déterminer la fonction affine f telle que f(1) = 5 et f(3) = 11.

On a deux points : (1 ; 5) et (3 ; 11). Coefficient directeur : a = (11 − 5) / (3 − 1) = 6 / 2 = 3 On cherche b avec f(1) = 5 : 3 × 1 + b = 5, donc b = 5 − 3 = 2 La fonction est donc f(x) = 3x + 2.

Erreurs fréquentes

✗ Calculer a en divisant la variation des abscisses par celle des ordonnées.

✓ Le coefficient directeur est a = (variation des y) / (variation des x), dans cet ordre.

✗ Confondre le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b.

✓ a est la pente (comment la droite monte ou descend) ; b est la valeur de f(0).

✗ Croire qu'une fonction affine passe toujours par l'origine.

✓ Seule une fonction linéaire (b = 0) passe par l'origine ; une fonction affine passe par (0 ; b).

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction affine et une fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est une fonction affine particulière où b = 0, donc de la forme f(x) = ax. Sa droite passe par l'origine, alors qu'une fonction affine passe par le point (0 ; b).

Comment lire le coefficient directeur sur un graphique ?

On choisit deux points de la droite et on calcule la variation verticale (montée) divisée par la variation horizontale (déplacement à droite). Le résultat est le coefficient directeur a.

Les fonctions affines sont-elles au programme du brevet ?

Oui, les fonctions affines et linéaires sont au programme de 3e et font partie des notions évaluées au brevet des collèges.

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