Maths · Brevet

Symétries, translation et rotation

Une transformation géométrique associe à chaque point une image. La symétrie axiale reflète une figure par rapport à une droite. La symétrie centrale effectue un demi-tour autour d'un point. La translation déplace tous les points selon une même direction, un même sens et une même longueur. La rotation fait tourner autour d'un centre.

Ce qui définit chaque transformation

Symétrie axiale : axe ; symétrie centrale : centre ; translation : direction, sens, longueur ; rotation : centre, angle, sens

À retenir

Pour une symétrie axiale d'axe d, si A n'est pas sur d, l'axe est la médiatrice de [AA′] : il coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.
Pour une symétrie centrale de centre O, O est le milieu de [AA′]. C'est une rotation de 180°.
Une translation fait glisser la figure sans la tourner. Tous ses points suivent le même déplacement.
Une rotation est définie par un centre, un angle et un sens. Le centre reste fixe et OA′ = OA.
Ces quatre transformations conservent les longueurs, les mesures des angles et les aires. La figure obtenue est superposable à la figure de départ.

Comment reconnaître ou construire une image

1
Repère les données
Cherche l'axe, le centre ou le déplacement indiqué. Pour une rotation, repère aussi l'angle et le sens, horaire ou antihoraire.
2
Choisis la propriété
Utilise la médiatrice pour une symétrie axiale, le milieu pour une symétrie centrale, un déplacement identique pour une translation et un angle au centre pour une rotation.
3
Construis les images des points
Place l'image de chaque sommet avec une règle, une équerre, un compas ou un rapporteur selon les données. Relie les sommets images dans le même ordre.
4
Contrôle la figure
Vérifie les longueurs correspondantes et la position par rapport à l'axe ou au centre. Une forme ressemblante ne suffit pas à prouver la transformation.

Exemple corrigé pas à pas

Dans un repère orthonormé, A(2 ; 1), B(4 ; 1) et C(2 ; 3). Construis mentalement leurs images par la symétrie centrale de centre O(0 ; 0), puis donne les coordonnées obtenues.

O doit être le milieu de chaque segment reliant un point à son image. Par rapport à l'origine, on change donc le signe des deux coordonnées. A′(−2 ; −1), B′(−4 ; −1) et C′(−2 ; −3). Par exemple, le milieu de [AA′] a pour coordonnées ((2 + (−2))/2 ; (1 + (−1))/2) = (0 ; 0). Le triangle image a les mêmes longueurs et la même aire que le triangle ABC.

Le triangle fait un demi-tour autour de O. Les deux coordonnées changent de signe et les longueurs restent identiques. Chaque carreau représente une unité sur les deux axes.

Exemple type brevet

Sur un quadrillage à mailles carrées, un motif est déplacé par translation de 4 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le bas. Un sommet P part de (−1 ; 3). 1. Donne les coordonnées de P′. 2. Un côté du motif mesure 2,5 cm et son aire vaut 6 cm². Quelles sont les valeurs correspondantes après translation ?

1. L'abscisse augmente de 4 et l'ordonnée diminue de 2 : P′(−1 + 4 ; 3 − 2), donc P′(3 ; 1). 2. La translation conserve les longueurs et les aires. Le côté image mesure donc 2,5 cm et l'aire du motif image vaut 6 cm². Tous les sommets suivent le même déplacement, même s'ils ont des coordonnées différentes.

Erreurs fréquentes

✗ Confondre une symétrie centrale avec une symétrie axiale.

✓ La symétrie centrale utilise un point et correspond à un demi-tour. La symétrie axiale utilise une droite qui joue le rôle d'un miroir.

✗ Définir une rotation seulement par son angle.

✓ Il faut aussi connaître le centre et le sens. Un quart de tour horaire et un quart de tour antihoraire donnent généralement des images différentes.

✗ Agrandir la figure pendant une translation.

✓ Une translation conserve toutes les longueurs. Un agrandissement relève d'une autre transformation, comme une homothétie de rapport supérieur à 1.

Entraîne-toi

1. Dans un repère orthonormé, quelle est l'image de A(3 ; −2) par la symétrie d'axe vertical passant par l'origine ?
Voir la correction
L'axe est l'axe des ordonnées. L'abscisse change de signe et l'ordonnée reste identique : A′(−3 ; −2). Le milieu de [AA′] est (0 ; −2) et [AA′] est perpendiculaire à l'axe.
2. O est le centre d'une symétrie centrale et OA = 3 cm. Quelle est la longueur AA′ ?
Voir la correction
O est le milieu de [AA′]. Donc OA′ = OA = 3 cm et AA′ = OA + OA′ = 6 cm.
3. Un point A est à 2 cm à droite de O. Où se trouve son image après une rotation de centre O et d'angle 90° dans le sens antihoraire ?
Voir la correction
Le point tourne d'un quart de tour dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Son image est à 2 cm au-dessus de O. La distance au centre reste égale à 2 cm.
4. Une translation déplace A(−2 ; 1) vers B(1 ; 5). Quelle est l'image de C(4 ; −1) ?
Voir la correction
De A vers B, on ajoute 3 à l'abscisse et 4 à l'ordonnée. On applique le même déplacement à C : C′(4 + 3 ; −1 + 4) = C′(7 ; 3).

Questions fréquentes

Quels points restent fixes par une symétrie axiale ?

Tous les points de l'axe restent fixes. Si un point appartient à l'axe, son image est lui-même.

Quel point reste fixe par une symétrie centrale ?

Seul le centre reste fixe. Pour tout autre point A, le centre est le milieu du segment [AA′].

Comment distinguer direction et sens d'une translation ?

La direction peut être horizontale, verticale ou oblique. Sur une direction horizontale, aller vers la droite et aller vers la gauche correspondent à deux sens opposés.

Un demi-tour horaire diffère-t-il d'un demi-tour antihoraire ?

Non, s'ils ont le même centre. Dans les deux cas, la rotation de 180° donne la même image : celle d'une symétrie centrale.

La symétrie axiale conserve-t-elle les aires ?

Oui. Comme les autres transformations de cette fiche, elle conserve les longueurs et les aires. L'effet miroir change la disposition de la figure, pas sa taille.

Sources

Contenu relu et vérifié le 2 novembre 2026.

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