Maths · Brevet

Homothétie, agrandissement et réduction

Une homothétie de centre O et de rapport k non nul transforme un point M distinct de O en M' sur (OM), avec OM' = |k| × OM. Pour k positif, M' est du même côté de O que M ; pour k négatif, du côté opposé. Les longueurs sont multipliées par |k|, les aires par k².

Changement d'échelle de coefficient c = |k|

Longueurs : × |k| ; aires : × k² ; volumes : × |k|³

À retenir

Le centre O reste fixe. Pour un point M distinct de O, les points O, M et son image M' sont alignés.
La valeur absolue |k| est la valeur de k sans son signe. Elle donne le facteur appliqué aux longueurs.
Si |k| > 1, c'est un agrandissement. Si 0 < |k| < 1, c'est une réduction. Pour |k| = 1, les longueurs sont conservées.
Le signe de k indique le côté du centre où placer l'image. Une longueur reste positive, même si le rapport est négatif.
Lors d'un changement d'échelle uniforme, les angles sont conservés. Si les longueurs doublent, les aires sont multipliées par 4 et les volumes par 8.

Comment utiliser un rapport d'homothétie

1
Repère le centre et le rapport
Note O et k. Distingue le signe du rapport et sa valeur absolue avant de placer les images.
2
Place l'image sur la bonne demi-droite
Pour un point différent de O, trace la droite passant par O et ce point. Choisis le même côté de O si k > 0 et le côté opposé si k < 0.
3
Calcule les longueurs
Multiplie les distances au centre et les longueurs des segments par |k|. Si tu cherches ce facteur, divise une longueur de l'image par la longueur correspondante de départ.
4
Adapte le facteur à la grandeur
Pour une aire, utilise |k|². Pour le volume d'un solide agrandi ou réduit uniformément, utilise |k|³. Garde les unités au carré ou au cube.

Exemple corrigé pas à pas

OAB est un triangle avec OA = 3 cm, OB = 4 cm et AB = 5 cm. A' et B' sont les images de A et B par l'homothétie de centre O et de rapport −2. Calcule OA', OB' et A'B', puis indique de quel côté de O placer les images.

Le rapport est k = −2, donc |k| = 2. Toutes les longueurs sont multipliées par 2 : OA' = 2 × 3 = 6 cm ; OB' = 2 × 4 = 8 cm ; A'B' = 2 × 5 = 10 cm. Comme k est négatif, A' est sur la droite (OA), de l'autre côté de O par rapport à A. De même, B' est de l'autre côté de O par rapport à B. Il s'agit d'un agrandissement.

Le signe négatif place chaque image de l’autre côté de O. La valeur absolue du rapport vaut 2 : les longueurs doublent et (AB) reste parallèle à (A′B′).

Exemple type brevet

Un solide est agrandi uniformément. Une de ses faces passe d'une aire de 36 cm² à 81 cm². Avant l'agrandissement, une arête mesure 10 cm et le volume est de 40 cm³. Calcule le facteur des longueurs, la nouvelle longueur de cette arête et le nouveau volume.

Le rapport des aires est 81/36 = 2,25. Si c est le facteur positif des longueurs, c² = 2,25, donc c = √2,25 = 1,5. La nouvelle longueur est 10 × 1,5 = 15 cm. Le volume est multiplié par c³ = 1,5³ = 3,375. Le nouveau volume vaut 40 × 3,375 = 135 cm³. On utilise donc trois facteurs différents : 1,5 pour les longueurs, 2,25 pour les aires et 3,375 pour les volumes.

Erreurs fréquentes

✗ Dire qu'un rapport négatif donne une réduction.

✓ Le signe détermine le côté du centre. Avec k = −3, les longueurs sont multipliées par 3 : c'est un agrandissement.

✗ Multiplier une aire par le même facteur que les longueurs.

✓ Si les longueurs sont multipliées par 3, les aires le sont par 3² = 9. Un volume est multiplié par 3³ = 27.

✗ Calculer le rapport avec longueur de départ/longueur de l'image.

✓ Le facteur des longueurs est longueur de l'image/longueur de départ. Le signe de k se déduit ensuite de la position des points par rapport au centre.

Entraîne-toi

1. Un segment de 3,2 cm est agrandi avec un facteur de 2,5. Quelle est la longueur de son image ?
Voir la correction
La longueur de l'image vaut 3,2 × 2,5 = 8 cm. Comme le facteur 2,5 est supérieur à 1, l'image est plus longue que le segment initial.
2. OM = 7 cm. Place verbalement l'image M' par l'homothétie de centre O et de rapport −0,5, puis calcule OM'.
Voir la correction
Le rapport est négatif : M' est sur (OM), de l'autre côté de O par rapport à M. La distance vaut OM' = 0,5 × 7 = 3,5 cm. Comme |k| = 0,5 < 1, c'est une réduction.
3. Un rectangle d'aire 48 cm² est réduit avec un facteur des longueurs de 0,75. Quelle est l'aire obtenue ?
Voir la correction
L'aire est multipliée par 0,75² = 0,5625. Elle devient 48 × 0,5625 = 27 cm². Multiplier seulement par 0,75 donnerait une aire incorrecte.
4. Une boîte de volume 216 cm³ est reproduite en multipliant toutes ses dimensions par 3. Quel est le volume de la nouvelle boîte ?
Voir la correction
Le facteur des volumes est 3³ = 27. Le nouveau volume vaut 216 × 27 = 5 832 cm³. Les trois dimensions sont agrandies, d'où le cube du facteur.

Questions fréquentes

Comment reconnaître un agrandissement ?

Compare des longueurs correspondantes. Si le facteur image/départ est supérieur à 1, il s'agit d'un agrandissement. Pour une homothétie, cela correspond à |k| > 1.

Que signifie un rapport de −1 ?

Les distances au centre sont conservées et chaque image est de l'autre côté de O. L'homothétie de rapport −1 est une symétrie centrale de centre O.

Le périmètre change-t-il comme l'aire ?

Le périmètre est une somme de longueurs : il est multiplié par |k|. L'aire est multipliée par |k|². Avec k = 2, le périmètre double et l'aire quadruple.

Comment retrouver le facteur des longueurs à partir des aires ?

Pour des figures obtenues par un changement d'échelle uniforme, divise l'aire de l'image par l'aire de départ, puis prends la racine carrée. Si le rapport des aires vaut 9, le facteur des longueurs vaut 3.

Comment interpréter une échelle de 1/100 ?

Sur une maquette à l'échelle 1/100, une longueur mesure cent fois moins que dans la réalité, dans la même unité. Les aires sont multipliées par 1/10 000 et les volumes par 1/1 000 000.

Sources

Contenu relu et vérifié le 2 novembre 2026.

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