Maths · Brevet

Fonctions : image, antécédent et lecture graphique

Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition une unique image. Dans f(3) = 7, 7 est l'image de 3 et 3 est un antécédent de 7. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, un seul ou aucun. Tu peux utiliser une formule, un tableau ou un graphique pour les chercher.

La notation à comprendre

f(x) = y : y est l'image de x ; x est un antécédent de y

À retenir

Dans f(x), x est le nombre de départ. f(x) désigne son image par la fonction f, et non un produit.
Calculer une image avec une formule consiste à remplacer x par le nombre donné, en respectant les priorités de calcul.
Chercher les antécédents d'un nombre k revient à résoudre f(x) = k sur l'ensemble de définition.
Dans un tableau, chaque colonne associe une valeur de x à son image. Le tableau ne renseigne que les valeurs présentées.
Sur un graphique, x se lit sur l'axe horizontal des abscisses et f(x) sur l'axe vertical des ordonnées. Une lecture peut être approchée.

Comment trouver une image ou un antécédent

1
Identifie ce que l'on cherche
Pour une image, le nombre de départ est connu. Pour un antécédent, c'est la valeur d'arrivée qui est donnée.
2
Avec une formule
Remplace x pour calculer une image. Pour un antécédent de k, écris f(x) = k et cherche toutes les solutions autorisées.
3
Avec un tableau
Pars de la ligne x pour lire une image. Pars de la ligne f(x) pour chercher les antécédents indiqués. Examine toutes les colonnes.
4
Avec un graphique
Pour une image, pars de x et rejoins verticalement la courbe, puis lis l'ordonnée. Pour les antécédents de k, cherche toutes les intersections avec la droite horizontale d'ordonnée k et lis leurs abscisses.

Exemple corrigé pas à pas

La fonction f est définie par f(x) = 3x − 2 pour tout nombre réel x. Calcule l'image de −2, puis cherche l'antécédent de 10.

Pour l'image de −2, remplace x par −2 : f(−2) = 3 × (−2) − 2 = −6 − 2 = −8. Pour l'antécédent de 10, résous f(x) = 10 : 3x − 2 = 10, donc 3x = 12, puis x = 4. Vérification : f(4) = 3 × 4 − 2 = 10. L'unique antécédent de 10 est 4.

Cette figure illustre le second exemple : 3 est l’image de −2 et de 2. Ces deux nombres sont les antécédents de 3 par g(x) = x² − 1.

Exemple type brevet

On définit g(x) = x² − 1 sur les nombres réels. 1. Complète le tableau pour x = −2, −1, 0, 1 et 2. 2. Donne les antécédents de 3 visibles dans ce tableau. 3. Explique pourquoi −2 n'a aucun antécédent par g.

1. g(−2) = 4 − 1 = 3 ; g(−1) = 1 − 1 = 0 ; g(0) = 0 − 1 = −1 ; g(1) = 0 ; g(2) = 3. x : −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2. g(x) : 3 ; 0 ; −1 ; 0 ; 3. 2. Les antécédents de 3 visibles dans le tableau sont −2 et 2. 3. Pour tout réel x, x² ≥ 0, donc g(x) ≥ −1. La valeur −2 est impossible. Cette conclusion vient de la formule, pas seulement du tableau.

Erreurs fréquentes

✗ Dire que 3 est l'image de 7 lorsque f(3) = 7.

✓ 3 est le nombre de départ et 7 est son image. Donc 3 est un antécédent de 7.

✗ S'arrêter au premier antécédent trouvé.

✓ Cherche toutes les solutions de l'équation ou toutes les intersections de la droite horizontale avec la courbe.

✗ Inventer une valeur absente d'un tableau.

✓ Un tableau partiel ne permet pas de connaître toutes les images ni tous les antécédents. Il faut une autre information, comme la formule de la fonction.

Entraîne-toi

1. Pour f(x) = 5 − 2x, calcule f(3) et f(−1).
Voir la correction
f(3) = 5 − 2 × 3 = −1. Pour le nombre négatif, utilise des parenthèses : f(−1) = 5 − 2 × (−1) = 5 + 2 = 7.
2. Pour h(x) = 4x + 1, trouve l'antécédent de 13.
Voir la correction
Résous 4x + 1 = 13. Donc 4x = 12, puis x = 3. Vérification : h(3) = 4 × 3 + 1 = 13.
3. Un tableau donne x : −3 ; 0 ; 2 ; 5 et f(x) : 4 ; 1 ; 4 ; 7. Quelle est l'image de 0 ? Quels antécédents de 4 peut-on lire ?
Voir la correction
La colonne de x = 0 donne f(0) = 1. La valeur 4 apparaît sous −3 et 2 : ce sont deux antécédents de 4. Ce tableau partiel ne permet pas d'exclure d'autres antécédents.
4. Sur le graphique complet d'une fonction, la droite horizontale d'ordonnée 2 coupe la courbe uniquement en A(−1 ; 2) et B(3 ; 2). Quels sont les antécédents de 2 ?
Voir la correction
Lis les abscisses des deux points d'intersection : −1 et 3. Donc f(−1) = 2 et f(3) = 2. Comme l'énoncé précise qu'il n'existe aucune autre intersection, ce sont tous les antécédents de 2.

Questions fréquentes

Un nombre peut-il avoir plusieurs images ?

Pour une fonction donnée, chaque nombre de l'ensemble de définition a une seule image. Un nombre hors de cet ensemble n'a pas d'image par cette fonction.

Un nombre peut-il avoir plusieurs antécédents ?

Oui. Pour g(x) = x² définie sur les nombres réels, 4 a deux antécédents : −2 et 2, car (−2)² = 4 et 2² = 4.

Un nombre peut-il n'avoir aucun antécédent ?

Oui. Pour g(x) = x² définie sur les nombres réels, −1 n'a aucun antécédent : le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.

Comment construire un tableau de valeurs ?

Choisis les valeurs de x demandées. Calcule chaque image avec la formule, puis place x et son image dans la même colonne. Vérifie notamment les calculs avec des nombres négatifs.

Comment lire une courbe sans inverser les axes ?

Une image se lit sur l'axe vertical et un antécédent sur l'axe horizontal. Si le point A(2 ; 5) appartient à la courbe de f, alors f(2) = 5.

Sources

Contenu relu et vérifié le 2 novembre 2026.

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