Maths · Brevet

Puissances et notation scientifique

Une puissance a^n est le produit de n facteurs égaux à a, pour n entier strictement positif. Pour a non nul, a^0 = 1 et a^(−n) = 1/a^n. La notation scientifique d'un nombre positif s'écrit a × 10^n, avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.

Règles de calcul, pour a non nul

Pour a ≠ 0 et m, n entiers : a^m × a^n = a^(m + n) ; a^m/a^n = a^(m − n) ; (a^m)^n = a^(m × n)

À retenir

L'exposant compte les facteurs : 3^4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Ce n'est pas 3 × 4.
Pour multiplier deux puissances de même base, additionne les exposants. Pour les diviser, soustrais les exposants, avec une base non nulle.
Un exposant négatif indique un inverse : 10^(−3) = 1/1 000 = 0,001.
En notation scientifique, le coefficient d'un nombre positif est au moins égal à 1 et strictement inférieur à 10.
Les règles sur les exposants ne s'appliquent pas à une somme : 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12.

Comment obtenir une notation scientifique

1
Sépare coefficients et puissances
Dans un produit, regroupe les nombres décimaux d'un côté et les puissances de 10 de l'autre.
2
Calcule les exposants
Additionne-les pour un produit de puissances de 10. Soustrais-les pour un quotient. Garde les parenthèses autour d'un exposant négatif.
3
Ajuste le coefficient
Écris le résultat avec un coefficient compris entre 1 inclus et 10 exclu. Par exemple, 24 × 10^5 = 2,4 × 10^6.
4
Vérifie l'ordre de grandeur
Un nombre positif inférieur à 1 a un exposant négatif en notation scientifique. Vérifie aussi l'unité demandée avant de conclure.

Exemple corrigé pas à pas

Calcule (6 × 10^5) × (4 × 10^(−3)) et donne le résultat en notation scientifique.

On multiplie les coefficients : 6 × 4 = 24. On additionne les exposants : 5 + (−3) = 2. Le produit vaut donc 24 × 10^2 = 2 400. Comme 24 dépasse 10, on écrit 24 = 2,4 × 10. Le résultat en notation scientifique est 2,4 × 10^3.

Exemple type brevet

Dans un modèle simplifié, un fichier occupe 2,5 × 10^6 octets. Un support dispose de 3 × 10^9 octets libres. 1. Combien de fichiers peut-il contenir, sans autre espace utilisé ? 2. Écris ce nombre en notation scientifique.

1. On divise l'espace libre par la taille d'un fichier : (3 × 10^9)/(2,5 × 10^6) = (3/2,5) × 10^(9 − 6) = 1,2 × 10^3. Cela donne exactement 1 200 fichiers dans les conditions de l'énoncé. 2. La notation scientifique est déjà obtenue : 1,2 × 10^3, car 1 ≤ 1,2 < 10.

Erreurs fréquentes

✗ Écrire 10^(−4) = −10 000.

✓ 10^(−4) est positif : c'est 1/10^4 = 0,0001. Le signe de l'exposant indique ici un inverse.

✗ Présenter 45 × 10^6 comme une notation scientifique.

✓ Le coefficient 45 est trop grand. Écris 4,5 × 10^7 : le nombre garde la même valeur.

✗ Calculer 3^2 × 3^4 en multipliant les exposants.

✓ Pour un produit, additionne : 3^2 × 3^4 = 3^6. La multiplication des exposants concerne une puissance de puissance, comme (3^2)^4 = 3^8.

Entraîne-toi

1. Écris 58 000 000 et 0,000036 en notation scientifique.
Voir la correction
58 000 000 = 5,8 × 10^7. Pour le second nombre, 0,000036 = 3,6 × 10^(−5). Les deux coefficients sont compris entre 1 inclus et 10 exclu.
2. Calcule 10^7 × 10^(−2)/10^3.
Voir la correction
Les bases sont toutes 10. L'exposant du résultat est 7 + (−2) − 3 = 2. Le résultat vaut donc 10^2 = 100.
3. Calcule (2^3)^2 et 2^3 + 2^2.
Voir la correction
Pour la puissance de puissance, (2^3)^2 = 2^(3 × 2) = 2^6 = 64. Pour la somme, calcule chaque terme : 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12.
4. Dans un exercice, une feuille mesure 8 × 10^(−5) m d'épaisseur. Quelle est la hauteur de 750 feuilles identiques empilées, en mètres puis en centimètres ?
Voir la correction
La hauteur vaut 750 × 8 × 10^(−5) = 6 000 × 10^(−5) = 6 × 10^(−2) m. C'est 0,06 m, soit 6 cm, car 1 m = 100 cm.

Questions fréquentes

Comment écrire 0,00072 en notation scientifique ?

0,00072 = 7,2 × 10^(−4). Le coefficient 7,2 est compris entre 1 et 10. Multiplier 7,2 par 0,0001 redonne bien 0,00072.

Combien vaut un nombre à la puissance zéro ?

Pour tout nombre a non nul, a^0 = 1. Par exemple, 8^0 = 1. Cette règle ne définit pas 0^0.

Peut-on additionner les exposants de bases différentes ?

La règle a^m × a^n = a^(m + n) exige la même base. Pour 2^3 × 5^2, calcule 8 × 25 = 200.

Quelle différence entre (−3)^2 et −3^2 ?

Dans (−3)^2, le signe moins fait partie de la base : (−3) × (−3) = 9. Dans −3^2, la puissance est prioritaire : −(3 × 3) = −9.

Comment diviser par une puissance de 10 ?

Diviser par 10^n revient à multiplier par 10^(−n). Par exemple, 4 500/10^3 = 4,5 et 4,5/10^(−2) = 450.

Sources

Contenu relu et vérifié le 2 novembre 2026.

À réviser aussi

Révise les puissances avec Graduo

Transforme ton cours en quiz et en flashcards pour t'entraîner sur les règles de calcul.

Essayer gratuitement