Maths · Brevet

Nombres premiers, diviseurs et fractions irréductibles

Un nombre premier est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Décomposer un entier supérieur à 1 en facteurs premiers permet de repérer ses diviseurs. Pour rendre une fraction irréductible, supprime tous les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur.

Simplifier une fraction

Pour d non nul : a/b = (a ÷ d)/(b ÷ d), avec b non nul

À retenir

Un entier positif d divise un entier n si n = d × q pour un entier q. La division de n par d a alors un reste nul.
1 n'est pas premier, car il n'a qu'un diviseur positif. 2 est le seul nombre premier pair.
Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres l'est, par 5 s'il finit par 0 ou 5, et par 2 si son chiffre des unités est pair.
La décomposition en facteurs premiers ne contient que des nombres premiers. Par exemple, 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2^2 × 3 × 5.
Une fraction d'entiers est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur positif commun autre que 1.

Comment rendre une fraction irréductible

1
Teste les petits diviseurs premiers
Commence par 2, puis 3, 5, 7… Utilise les critères de divisibilité pour éviter les essais inutiles.
2
Décompose chaque nombre
Divise successivement le numérateur et le dénominateur par des nombres premiers jusqu'à obtenir 1. Note chaque facteur, même s'il se répète.
3
Supprime les facteurs communs
Pour chaque facteur supprimé au numérateur, supprime le même au dénominateur. Cela revient à diviser les deux nombres par un diviseur commun.
4
Vérifie la fraction obtenue
Contrôle qu'aucun facteur premier ne reste en commun. Tu peux vérifier l'égalité des fractions avec les produits en croix.

Exemple corrigé pas à pas

Décompose 84 et 126 en facteurs premiers, puis rends la fraction 84/126 irréductible.

84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2^2 × 3 × 7. 126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3^2 × 7. Les facteurs communs forment 2 × 3 × 7 = 42. Donc 84/126 = (84 ÷ 42)/(126 ÷ 42) = 2/3. 2 et 3 n'ont aucun diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible.

Exemple type brevet

Une association dispose de 60 crayons et 84 feutres. Elle veut préparer le plus grand nombre possible de lots identiques en utilisant tout le matériel. Combien de lots peut-elle faire et que contient chaque lot ?

Le nombre de lots doit diviser à la fois 60 et 84. On cherche leur plus grand diviseur commun. 60 = 2^2 × 3 × 5 et 84 = 2^2 × 3 × 7. Les facteurs communs donnent 2^2 × 3 = 12. L'association peut préparer 12 lots au maximum. Chaque lot contient 60/12 = 5 crayons et 84/12 = 7 feutres. Vérification : 12 × 5 = 60 et 12 × 7 = 84. Tout le matériel est utilisé.

Erreurs fréquentes

✗ Dire que tout nombre impair est premier.

✓ 9 est impair, mais 9 = 3 × 3. Il possède les diviseurs 1, 3 et 9 : il n'est pas premier.

✗ S'arrêter à 60 = 4 × 15 pour une décomposition en facteurs premiers.

✓ 4 et 15 ne sont pas premiers. Continue : 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

✗ Soustraire le même nombre en haut et en bas pour simplifier une fraction.

✓ Il faut diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Soustraire ne conserve pas en général la valeur de la fraction.

Entraîne-toi

1. Le nombre 97 est-il premier ? Justifie.
Voir la correction
Comme 9 < √97 < 10, il suffit de tester les nombres premiers 2, 3, 5 et 7. 97 est impair, 9 + 7 = 16 n'est pas divisible par 3, et 97 ne finit ni par 0 ni par 5. Enfin, 97 = 7 × 13 + 6. Aucun de ces nombres ne divise 97 : il est premier.
2. Décompose 180 en facteurs premiers.
Voir la correction
180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 = 2 × 2 × 3 × 15 = 2^2 × 3^2 × 5. Tous les facteurs 2, 3 et 5 sont premiers.
3. Rends la fraction 150/210 irréductible.
Voir la correction
150 = 2 × 3 × 5^2 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7. Le produit des facteurs communs est 30. Donc 150/210 = 5/7 après division des deux termes par 30. Aucun facteur premier ne reste en commun.
4. Liste tous les diviseurs positifs de 36, puis ceux qui divisent aussi 48.
Voir la correction
Les paires de facteurs de 36 sont 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 et 6 × 6. Les diviseurs sont donc 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. Parmi eux, 1, 2, 3, 4, 6 et 12 divisent aussi 48. Leur plus grand est 12.

Questions fréquentes

Comment vérifier qu'un nombre est premier ?

Pour un entier n supérieur à 1, cherche un diviseur premier inférieur ou égal à √n. Si aucun ne le divise, n est premier. Au-delà de √n, un éventuel facteur aurait un partenaire plus petit déjà testé.

Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ?

Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs distincts. Le nombre 1 n'en a qu'un : lui-même.

Quelle différence entre diviseur et multiple ?

Comme 42 = 6 × 7, 6 est un diviseur de 42 et 42 est un multiple de 6. Le même calcul permet aussi de dire que 7 divise 42.

Qu'est-ce que le plus grand diviseur commun ?

Le plus grand diviseur commun, ou PGCD, de deux entiers positifs est le plus grand entier qui les divise tous les deux. Diviser les deux termes d'une fraction par leur PGCD la rend irréductible.

Deux nombres doivent-ils être premiers pour former une fraction irréductible ?

Non. Il suffit qu'ils n'aient aucun diviseur commun autre que 1. Par exemple, 8/9 est irréductible, alors que ni 8 ni 9 n'est premier.

Sources

Contenu relu et vérifié le 2 novembre 2026.

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