Maths · Brevet

Volumes : les formules et leur utilisation

Le volume mesure l'espace occupé par un solide. Un prisme droit ou un cylindre a pour volume l'aire de sa base multipliée par sa hauteur. Pour une pyramide ou un cône, divise ce produit par 3. Une boule de rayon r a pour volume (4/3) × π × r³.

B : aire de base ; h : hauteur ; r : rayon

Pavé : L × l × h ; prisme droit : B × h ; cylindre : π × r² × h ; pyramide : B × h/3 ; cône : π × r² × h/3 ; boule : 4 × π × r³/3

À retenir

Exprime toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer. Des longueurs en centimètres donnent un volume en cm³.
L'aire de base B se calcule selon sa forme : rectangle, triangle, disque… La hauteur du solide est perpendiculaire au plan de la base.
Pour un disque de rayon r, l'aire est π × r². Si l'énoncé donne le diamètre, divise-le par 2 pour obtenir le rayon.
Une pyramide et un prisme de même aire de base et de même hauteur ont des volumes dans un rapport de 1 à 3. C'est aussi vrai pour un cône et un cylindre.
1 dm³ = 1 L ; 1 cm³ = 1 mL ; 1 m³ = 1 000 L. Garde π dans les calculs exacts et arrondis seulement à la fin.

Comment calculer un volume

1
Reconnais le solide
Identifie sa base et sa forme. Si l'objet est composé de plusieurs solides, repère les parties à additionner ou à retirer.
2
Prépare les mesures
Convertis les longueurs dans une unité commune. Calcule le rayon à partir du diamètre et distingue la hauteur d'une arête inclinée.
3
Applique la formule
Écris d'abord la formule avec les lettres, puis remplace chaque mesure. Pour une pyramide ou un cône, conserve le facteur 1/3.
4
Donne l'unité et l'arrondi
Écris la valeur exacte si elle est demandée, puis la valeur approchée avec le symbole ≈. Convertis en litres uniquement si cela répond à la question.

Exemple corrigé pas à pas

Un cylindre a un diamètre de 6 cm et une hauteur de 8 cm. Calcule son volume exact, puis arrondis au dixième de cm³.

Le rayon vaut la moitié du diamètre : r = 6/2 = 3 cm. V = π × r² × h = π × 3² × 8 = 72π cm³. Avec la touche π de la calculatrice, 72π ≈ 226,2. Le volume est donc exactement 72π cm³, soit environ 226,2 cm³.

La base est un disque, représenté ici par une ellipse en perspective. La formule utilise son rayon de 3 cm, et non son diamètre de 6 cm : V = 72π cm³.

Exemple type brevet

Un solide est formé d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 8 cm, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 4 cm. Leurs intérieurs ne se chevauchent pas. Calcule le volume total exact, puis arrondis au dixième de cm³.

Le volume du cylindre vaut π × 3² × 8 = 72π cm³. Le volume du cône vaut π × 3² × 4/3 = 12π cm³. On additionne les deux volumes : V = 72π + 12π = 84π cm³. Avec la calculatrice, 84π ≈ 263,9. Le volume total vaut donc environ 263,9 cm³. La hauteur de 4 cm est celle du cône seul.

Erreurs fréquentes

✗ Utiliser le diamètre à la place du rayon.

✓ Le rayon est la moitié du diamètre. Pour un cylindre de diamètre 6 cm, la formule utilise r = 3 cm.

✗ Oublier de diviser par 3 pour une pyramide ou un cône.

✓ Le volume est B × h/3. Le produit B × h seul correspond au prisme ou au cylindre de même base et de même hauteur.

✗ Passer de cm³ à dm³ en divisant par 10.

✓ Comme 1 dm = 10 cm, 1 dm³ = 10³ cm³ = 1 000 cm³. Il faut donc diviser le volume en cm³ par 1 000.

Entraîne-toi

1. Un aquarium en forme de pavé a pour dimensions intérieures 40 cm, 25 cm et 30 cm. Quelle est sa capacité en litres ? Quel volume d'eau contient-il s'il est rempli aux quatre cinquièmes ?
Voir la correction
La capacité vaut 40 × 25 × 30 = 30 000 cm³, soit 30 L. Aux quatre cinquièmes, le volume d'eau vaut 30 × 4/5 = 24 L. On utilise les dimensions intérieures pour calculer la capacité.
2. La base d'un prisme droit est un triangle de base 6 cm et de hauteur associée 4 cm. La hauteur du prisme est 9 cm. Calcule son volume.
Voir la correction
L'aire du triangle de base est B = 6 × 4/2 = 12 cm². La hauteur du prisme est 9 cm, donc V = B × h = 12 × 9 = 108 cm³. Les deux hauteurs décrivent des objets différents.
3. Une pyramide a une base carrée de côté 6 cm et une hauteur de 10 cm. Quel est son volume ?
Voir la correction
L'aire de base vaut 6 × 6 = 36 cm². Le volume est V = B × h/3 = 36 × 10/3 = 120 cm³. Le facteur 1/3 est nécessaire pour une pyramide.
4. Calcule le volume exact d'une boule de rayon 3 cm, puis son volume arrondi au dixième de cm³.
Voir la correction
V = 4 × π × r³/3 = 4 × π × 3³/3 = 4 × π × 27/3 = 36π cm³. La calculatrice donne environ 113,1 cm³ au dixième.

Questions fréquentes

Quelle est la formule du volume d'un cube ?

Un cube est un pavé dont les trois dimensions sont égales. Pour une arête a, son volume vaut a × a × a = a³.

Quelle différence entre une boule et une sphère ?

La sphère est la surface. La boule comprend cette surface et tout l'intérieur : c'est le solide dont on calcule le volume avec 4 × π × r³/3.

Quelle hauteur utiliser pour un cône ?

Utilise la distance perpendiculaire entre le sommet et le plan de la base. La longueur inclinée qui relie le sommet au bord du disque n'est pas cette hauteur.

Comment convertir un volume en litres ?

Utilise 1 dm³ = 1 L. Ainsi, 2 500 cm³ = 2,5 dm³ = 2,5 L. Un mètre cube correspond à 1 000 dm³, donc à 1 000 L.

Faut-il remplacer π par 3,14 ?

Garde π pour la valeur exacte. Pour une valeur approchée, utilise la touche π de la calculatrice et arrondis à la précision demandée. Remplacer trop tôt π par 3,14 peut modifier l'arrondi final.

Sources

Contenu relu et vérifié le 2 novembre 2026.

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